Question

【題目】如圖，反比例函數y＝（x＞0）過點A（3，4），直線AC與x軸交于點C（6，0），過點C作x軸的垂線交反比例函數圖象于點B．

（1）求反比例函數和直線AC的解析式；

（2）求△ABC的面積；

（3）在平面內有點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出符合條件的所有D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析式為：y＝；直線AC的解析式為：y＝﹣x+8；（2）3；（3）符合條件的點D的坐標是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．

【解析】

（1）將A點的坐標代入反比例函數y＝求得k的值，然后將A，C坐標代入直線解析式解答即可；

（2）把x=6代入反比例函數解析式求得相應的y的值，即得點B的坐標，進而利用三角形面積公式解答即可；
（3）使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意D的坐標即可．

解：（1）把點A（3，4）代入y＝（x＞0），得

k＝xy＝3×4＝12，

故該反比例函數解析式為：y＝，

把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，

可得：，

解得：，所以直線AC的解析式為：y＝﹣x+8；

（2）∵點C（6，0），BC⊥x軸，

∴把x＝6代入反比例函數y＝，得

y＝＝2，

則B（6，2），

所以△ABC的面積＝；

（3）①如圖，當四邊形ABCD為平行四邊形時，AD∥BC且AD＝BC．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴點D的橫坐標為3，yA﹣yD＝yB﹣yC即4﹣yD＝2﹣0，故yD＝2．

所以D（3，2）．

②如圖，當四邊形ACBD′為平行四邊形時，AD′∥CB且AD′＝CB．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴點D的橫坐標為3，yD′﹣yA＝yB﹣yC即yD﹣4＝2﹣0，故yD′＝6．

所以D′（3，6）．

③如圖，當四邊形ACD″B為平行四邊形時，AC＝BD″且AC∥BD″．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴xD″﹣xB＝xC﹣xA即xD″﹣6＝6﹣3，故xD″＝9．

yD″﹣yB＝yC﹣yA即yD″﹣2＝0﹣4，故yD″＝﹣2．

所以D″（9，﹣2）．

綜上所述，符合條件的點D的坐標是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．