Question

請同學們試一試：
（1）如圖（1），OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．
（2）猜想一下：在一個三角形中，兩個內角平分線相交而成的一個鈍角的度數與第三個內角的度數之間有什么關系？（寫出結論，并證明）（溫馨提醒：要畫圖、寫已知、求證．） 下面的證明如果要用此題結論，則可以直接用．
（3）如圖（2）在△ABC中，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F，請你判別并寫出FE與FD之間的數量關系；并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）在OM、ON上截取相同長度的線段，在OP上任取一點A，構造全等三角形即可；
（2）由在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，根據三角形的內角和定理即可求得∠OBC+∠OCB的值，然后在△OBC中，再利用三角形的內角和定理，即可求得答案；
（3）通過證明△EAF≌△HAF（SAS），△FCH≌△FCD（ASA），根據全等三角形的性質即可得出結論．

解答：解：（1）作法：①以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線ON，OM于C，B兩點；
②在射線OP上任取一點A（O點除外）；
③連接AB，AC．
則所得△AOB≌△AOC．
作圖如下：


（2）已知：如圖，在△ABC中，OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線；求證：∠BOC=90°+

1

2

∠A．
證明：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線；
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A；

（3）FE與FD之間的數量關系是EF=FD．理由如下：
在AC上截取AH=AE．
∵AD是∠EAC的平分線，
∴∠EAF=∠HAF．
在△EAF與△HAF中，
∵

AE=AH ∠EAF=∠HAF AF=AF

，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴∠EFA=∠AFH，
∵∠B=60°．
∴由（2）得∠AFC=90°+

1

2

∠B=120°，
∴∠AFE=180°-∠AFC=60°=∠DFC．
∵∠EFA=∠AFH=60°，
∴∠HFC=180°-∠EFA-∠AFH=60°，
∴∠DFC=∠HFC．
∵CE是∠ACD的平分線，
∴∠FCH=∠FCD．
∵在△FCH與△FCD中，

∠FCH=∠FCD FC=FC ∠DFC=∠HFC

，
∴△FCH≌△FCD（ASA），
∴FD=FH．
∵△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，
∴EF=FD．

點評：本題考查的是熟練掌握尺規作圖的技巧和三角形全等的判定定理．同時考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．