Question

【題目】如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，設AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0．

（1）求AD和BC的長；

（2）你認為AD和BC還有什么關系？并驗證你的結論；

（3）你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=3，BC=4．（2）AD∥BC，（3）能．

【解析】試題分析：（1）根據題意可知x﹣3=0，y﹣4=0，易求解AD和BC的長；

（2）根據∠AEB=90°，可得∠EAB+∠EBA=90°，因為EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，則∠DAB+∠ABC=180°，所以AD∥BC；

（3）如圖，過E作EF∥AD，交AB于F，則∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因為EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根據梯形中位線定理易求AB的長．

試題解析：（1）∵AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0，

∴AD=3，BC=4．

（2）AD∥BC，

理由是：∵在△AEB中，∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

又∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∴AD∥BC．

（3）能．

如圖，過E作EF∥AD，交AB于F，

∵AD∥BC（已證），EF∥AD，

∴AD∥EF∥BC，

則∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，

∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，

∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，

∴AF=EF=FB，

又∵EF∥AD∥BC，

∴EF是梯形ABCD的中位線，

∴EF=，

∴AB=7．