Question

（2010•保定一模）將球放在一個圓柱形玻璃杯的杯口上，右圖是其軸截面的示意圖．杯口內(nèi)徑AB為⊙O的弦，且AB=6cm，⊙O的直徑DE⊥AB于點C，測得tan∠DAB=

5

3

，求該球的直徑．

Answer 1

分析：連接OA，由直徑DE與弦AB垂直，利用垂徑定理得到C為AB中點，根據(jù)AB的長求出AC的長，在直角三角形ADC中，由∠ADB的正切值，由AC求出CD的值，設(shè)球的直徑為d，在直角三角形OAC中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到d的值．

解答：解：連接OA，
∵直徑DE⊥AB，且AB=6cm，
∴由垂徑定理得：AC=

1

2

AB=3，（2分）
∴CD=AC•tan∠DAB=5，（4分）
設(shè)該球的直徑為d，則在Rt△OAC中，
根據(jù)勾股定理有：（

1

2

d）²=（5-

1

2

d）²+3²，（6分）
化簡得：

1

4

d²=25-5d+

1

4

d²+9，即5d=34，
解得：d=

34

5

（cm）．（8分）

點評：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)，在運用垂徑定理時，常常利用圓的半徑，弦心距以及弦長的一半構(gòu)造直角三角形，借助直角三角形的性質(zhì)來解決問題，故連接OA構(gòu)造直角三角形是本題的突破點．