Question

【題目】我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD（圖2）中，取對角線BD的中點O，連接OA、OC．得折線AOC，再過點O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為四邊形ABCD的一條“好線”．

（1）如圖，試說明中線AD平分△ABC的面積；

（2）如圖，請你探究四邊形ABCO的面積和四邊形ABCD面積的關系，并說明理由；

（3）在上圖中，請你說明直線AE是四邊形ABCD的一條“好線”；

（4）如圖，若AE為一條“好線”，F為AD邊上的一點，請作出四邊形ABCD經過F點的“好線”，并對你的畫圖作適當說明．

Answer 1

【答案】（1）三角形的一條中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形

（2）關系：

（3）AE是四邊形ABCD的一條“好線”．

（4）GF為一條“好線”

【解析】試題分析：（1） ABD和 ACD是等底同高的兩個三角形，故面積相等；（2）由（1）知，S△AOB=S△AOD, S△BOC=S△DOC,故（3）設AE與OC的交點是F．要說明直線AE是“好線”，根據已知條件中的折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，只需說明三角形AOF的面積等于三角形CEF的面積．則根據兩條平行線間的距離相等，結合三角形的面積個數可以證明三角形AOE的面積等于三角形COE的面積，再根據等式的性質即可證明；
（4）根據兩條平行線間的距離相等，只需借助平行線即可作出過點F的“好線”;

試題解析：

（1）在△ABC中,AD是中線,則BD=CD.△ABD和△ADC的底邊相等.高相等,都是從A點向BC邊所作的垂線段.

由三角形的面積公式, ,

可知三角形的一條中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形

（2）關系：

由（1）知，S△AOB=S△AOD, S△BOC=S△DOC,

∴

∴

（3）∵OE∥AC，

∴ S△AOE=S△COE，

∵S△AOF=S△CEF，

又因為（2）知，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，

∴直線AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是四邊形ABCD的一條“好線”．

（4）連接EF，過A作EF的平行線交CD于點G，連接FG，則GF為一條“好線”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

設AE與FG的交點是O．則S△AOF=S△GOE，

又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”