Question

（2009•上海）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，連接AC．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）若M、N分別是AB、DC的中點，連接MN，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作梯形的一條高AE，發現30°的直角三角形ABE，根據銳角三角函數求得BE，AE的長，再進一步求得CE的長，從而完成求解過程；
（2）顯然MN是梯形的中位線，主要是求得上底的長即可．再作梯形的另一條高，根據全等三角形和矩形的性質求得梯形的上底．
解答：解：（1）如圖，作AE⊥BC于點E．
在Rt△ABE中，
BE=AB•cosB=8×cos60°=4，
AE=AB•sinB=8×sin60°=4，
∴CE=BC-BE=12-4=8．
在Rt△ACE中，
tan∠ACB=．

（2）作DF⊥BC于F，則四邊形AEFD是矩形．
∴AD=EF，DF=AE．
∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）
∴CF=BE=4，
EF=BC-BE-CF=12-4-4=4，
∴AD=4．
又∵M、N分別是AB、DC的中點，
∴MN是梯形ABCD的中位線，
∴MN=（AD+BC）=（4+12）=8．
點評：（1）結合等腰梯形的特點，構造直角三角形，然后根據三角函數的定義來求∠ACB的正切值．
（2）在等腰梯形上添加輔助線，將等腰梯形劃分為兩個全等的直角三角形和一個矩形，然后求得AD的長，再由梯形的中位線的性質求線段MN的長．