Question

一次函數y=ax+b的圖象分別與x軸，y軸交于點M，N，與反比例函數y=

k

x

的圖象交于點A，B，過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E，過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D，AC與BD交于K，連接CD．
（1）若點A，B在反比例函數y=

k

x

的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：AN=BM．
（2）若點A，B分別在反比例函數y=

k

x

的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）本題需先連接AD，BC，得出S_△ADC=S_△BDC再證出ANDC是平行四邊形，得出AN=CD和DC=BM，從而得出AN=BM．
（2）本題需先根據（1）的理由即可得出AN與BM相等即可．

解答：解：（1）連接AD，BC，過D作DP⊥AB，過C作CQ⊥AB，
S_△ADC=

1

2

AC．DK=

1

2

x₁．y₁=

1

2

k，
S_△BDC=

1

2

BD．CK=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S_△ADC=S_△BDC，即S_△ADK=S_△BCK，
∴S_△ADB=S_△ACB，
∴DP=CQ，又DP∥CQ，又∠DPQ=90°，
∴四邊形PQCD為矩形，
∴AB∥CD，
∵AC∥ND，
∴ANDC是平行四邊形，
∴AN=CD，
同理：DC=BM，
∴AN=BM．


（2）相等．
AN與BM仍然相等．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK•DK=BK•CK．
∴CK：AK=DK：BK．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD
∵AC∥y軸，
∴四邊形ANDC是平行四邊形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．

點評：本題主要考查了反比例函數的綜合應用，在解題時要能把反比例函數的圖象與平行四邊形的判定和性質相結合是本題的關鍵．