Question

（2008•蕪湖）附加題：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點E，F是CD的中點，DG是梯形ABCD的高．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）設AE=x，四邊形DEGF的面積為y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可分別證明四邊形AEFD的兩邊平行，先求DF∥EA，也就是求∠BDC=90°，已知∠C是60°，可以通過等腰梯形的性質得出∠BAD=∠ADC=120°，在等腰三角形ABD中，AE是底邊的高，根據等腰三角形三線合一的特點可得出∠BAE=∠EAD=60°，E是BD中點，那么∠ADB=30°，因此便可證得∠BDC=90°即可得出AE∥DF，下面證AD∥EF，EF是三角形DBC的中位線，EF∥BC∥AD，因此便可得出四邊形AEFD是平行四邊形．
（2）我們不難看出DG⊥EF，因此四邊形EDFG的面積可用EF•DG來求．直角三角形AED中有AE的值，有∠ADB的度數，可以求出AD的長，也就求出了EF的長，同理可在三角形DGC中求出DG的長，這樣就能求出四邊形DEGF的面積了．
解答：（1）證明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD為等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°．
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE為等腰△ABD的高，
∴E是BD的中點（等腰三角形三線合一）．
∵F是DC的中點，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=x，
∴AD=2x．
在Rt△DGC中∠C=60°，且DC=AD=2x，
∴DG=x．
由（1）知：在平行四邊形AEFD中：EF=AD=2x，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF．
∴四邊形DEGF的面積=EF•DG．
∴y=×2x•x=x²（x＞0）．
點評：本題的關鍵是求出四邊形AEFD是平行四邊形，要根據已知條件選擇比較容易的證法．