Question

25、如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上一點，PE⊥AB，PF⊥BC垂足分別為，E、F，
（1）請你猜想EF和PD有何關系，并證明；
（2）如圖②若點P是對角線AC延長線上任意一點，其它條件不變，請根據已知補全圖形，并判斷（1）中你所猜想的結論還成立嗎？（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）先根據條件證明△PMD≌△FPE，所以得到PD=EF，∠PEF=∠PDM，∠DPM=∠EFP，根據∠EPG+∠PEM=90°可知EF⊥PD．
（2）根據題意作圖，可發現（1）中所猜想的結論仍然成立．

解答：解：（1）PD與EF垂直且相等；
證明：過P作PM⊥CD，PN⊥AD，
∵AC是正方形對角線，
∴PM=PF，PE=PN，
∵PM⊥CD，PN⊥AD，
∴PNDM為矩形，
∴PN=DM，
∴PE=PN=DM，
∵PM=PF，PE=PN=DM，
∠PMD=∠FPE=90°，
∴△PMD≌△FPE，
∴PD=EF，∠PEF=∠PDM，∠DPM=∠EFP，
延長DP與EF相交與G，
∵∠DPM=∠EPG，
∴∠EPG+∠PEM=90°，
∴EF⊥PD；

（2）畫圖，（1）中所猜想的結論仍然成立．

點評：主要考查了正方形的性質和基本作圖的技能．