Question

（2004•包頭）某農場計劃建一個養雞場，為了節約材料，雞場一邊靠著原有的一堵墻（墻長為28米），另外的部分用竹籬笆圍成．
（1）若用長為50米的竹籬笆圍成面積為300米²的矩形養雞場（如圖1），設矩形的長為y米，寬為x米，求x和y的值；
（2）若用長為30米的竹籬笆圍成矩形（如圖1）或半圓形（如圖2）養雞場，設矩形的面積為S₁米²、長為y米、寬為x米，半圓形的面積為S₂米²、半徑為r米，試比較S₁和S₂的大小．（取π≈3）

Answer 1

分析：（1）根據長方形的養雞場的寬為xm，則長為（50-2x）m，由題意列方程即可解答；
（2）根據題意，按照等量關系“矩形面積=長×寬”“半圓面積=

1

2

π×半徑”列出函數關系式，再求其最值．

解答：解：（1）設矩形的長為y米，寬為x米，
則xy=300，
∵2x+y=50，
∴y=50-2x，
∴x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15；
故x₁=10，y₁=30； x₂=15，y₂=20
根據墻長28米，y=30不符合題意（舍去），
∴x=15，y=20．

（2）由題意，得y+2x=30，S₁=x•y，
∴S_l=x•（30-2x）=-2x²+30x．
又∵30=πr，
∴r=10．
∴S₂=150．
又∵S₁=-2x2+30x=-2（x²-15x）=-2（x-

15

2

）²+

225

2

．
當x=

15

2

時，S₁的最大值為

225

2

，

225

2

＜150，
∴S_l＜S₂．

點評：此題主要考查了一元二次方程解決實際問題與二次函數的應用，利用二次函數最值得出是解題關鍵．