Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在坐標軸上，且OA=OB=OC，△ABC的面積為9，點P從C點出發沿y軸負方向以1個單位/秒的速度向下運動，連接PA，PB，D（﹣m，﹣m）為AC上的點（m＞0）

（1）試分別求出A，B，C三點的坐標；

（2）設點P運動的時間為t秒，問：當t為何值時，DP與DB垂直且相等？請說明理由；

（3）如圖2，若PA=AB，在第四象限內有一動點Q，連QA，QB，QP，且∠PQA=60°，當Q在第四象限內運動時，求∠APQ與∠PBQ的度數和．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，0），C（0，﹣3）；（2）當t=3秒時， DP與DB垂直且相等，理由見解析；（3）∠APQ+∠PBQ=120°．

【解析】

（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90° 得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面積為9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各點的坐標；
（2）作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，假設出D點的坐標，進而得出△PCD≌△BOD，進而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；
（3）在QA上截取QS=QP，連接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等邊三角形，進而得出△APS≌△BPQ，從而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．

（1）A（﹣3，0），B（3，0），C（0，﹣3）；

（2）當t=3秒時， DP與DB垂直且相等．

理由如下：連接OD，作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，

∵D（﹣m，﹣m），

∴DM=DN=OM=ON=m，

∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，

∴DC=DO，∠ODC=90°

∵∠ODB+∠BDC=∠CDP+∠BDC=90°

∴∠ODB =∠CDP

又 ∵DP=DB

∴ △PCD≌△BOD （SAS）

∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

∴∠BDP=∠ODC=90°，

即DP⊥DB.

∴ PC=BO

∴ t=3 ；

（3）在QA上截取QS=QP，連接PS．

∵∠PQA=60°，

∴△QSP是等邊三角形，

∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

∵PO是AB的垂直平分線，

∴PA=PB 而PA=AB，

∴△PAB是等邊三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠APS=∠BPQ，

∴△APS≌△BPQ，

∴∠PAS=∠PBQ，

∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．