Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），O是對角線AC的中點，過點O的直線EF⊥AC交AD邊于E，交BC邊于F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長．

Answer 1

分析：（1）利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CF，然后證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明；
（2）根據菱形的四條邊都相等可得AF=AE，設邊AB=x，根據三角形的面積表示出BF，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理列式解方程求出x，再根據三角形的周長公式列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵O是對角線AC的中點，
∴AO=CO，
∵矩形ABCD的邊AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，
在△AOE和△COF中，
∵

∠ACB=∠CAD AO=CO ∠AOE=∠COF=90°

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）解：∵AE=10cm，四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
設AB=x，∵△ABF的面積為24cm²，
∴BF=

48

x

，
在Rt△ABF中，根據勾股定理，AB²+BF²=AF²，
即x²+（

48

x

）²=10²，
x⁴-100x²+2304=0，
解得，x₁=6（舍去），x₂=8，
所以，BF=

48

8

=6cm，
所以，△ABF的周長=6+8+10=24cm．

點評：本題考查了矩形的性質，菱形的判定，勾股定理的應用，（2）利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．