Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖，連接AF、CE，求證四邊形AFCE的菱形；
（2）求AF的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分線EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．

（2）∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
設AF=xcm，則CF=xcm，BF=（8-x）cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
即AF=5cm．