Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，頂點為A．

（1）求拋物線的表達式及頂點A的坐標；

（2）點P為拋物線對稱軸上一點，聯(lián)結(jié)OA、OP．

①當OA⊥OP時，求OP的長；

②過點P作OP的垂線交對稱軸右側(cè)的拋物線于點B，聯(lián)結(jié)OB，當∠OAP=∠OBP時，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點A的坐標為（2，1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸列方程求出，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)解析式寫出頂點坐標；

（2）設對稱軸與軸的交點為E．①求出，然后根據(jù)銳角的正切值相等列出等式，再求解得到，然后利用勾股定理列式計算即可；②過點B作AP的垂線，垂足為F，根據(jù)拋物線解析式設出點B的坐標，然后表示出，在和中，利用相等的銳角的正切值相等列式求出再求出然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式求解得到的值，從而得解．

試題解析：（1）拋物線的對稱軸為直線，．

頂點A的坐標為（2，1）；

設對稱軸與軸的交點為E．①如圖，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，

;

②如圖，過點B作AP的垂線，垂足為F，設點，

在和中，

整理得：解得（舍）．