Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4的圖象與x有交于A、C兩點，
（1）若拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，求l₂的解析式；
（2）若點B是拋物線l₁上的一動點（B不與A、C重合），以AC為對角線，A、B、C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為D，求證：點D在l₂上；
（3）探索：當點B分別位于l₁在x軸上、下兩部分的圖象上時，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：設l₂的解析式為y=a（x-h）²+k
∵l₁與x軸的交點A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，-4），l₁與l₂關于x軸對稱，
∴l₂過A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，4）
∴y=ax²+4
∴0=4a+4得a=-1
∴l₂的解析式為y=-x²+4

（2）證明：設B（x₁，y₁）
∵點B在l₁上
∴B（x₁，x₁²-4）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關于O對稱
∴B、D關于O對稱
∴D（-x₁，-x₁²+4）．
將D（-x₁，-x₁²+4）的坐標代入l₂：y=-x²+4
∴左邊=右邊
∴點D在l₂上．

（3）解：設平行四邊形ABCD的面積為S，
則S=2S_△ABC=AC×|y₁|=4|y₁|
a．當點B在x軸上方時，y₁＞0
∴S=4y₁，它是關于y₁的正比例函數且S隨y₁的增大而增大，
∴S既無最大值也無最小值
b．當點B在x軸下方時，-4≤y₁＜0
∴S=-4y₁，它是關于y₁的正比例函數且S隨y₁的增大而減小，
∴當y₁=-4時，S由最大值16，但他沒有最小值
此時B（0，-4）在y軸上，它的對稱點D也在y軸上．
∴AC⊥BD．
∴平行四邊形ABCD是菱形，
此時S_最大=16．
分析：（1）因為關于x軸對稱的點的特點是橫坐標不變，縱坐標互為相反數，所以可得l₂的解析式；
（2）設點B的坐標為（x₁，x₁²-4），根據題意求的點D的坐標，代入解析式即可證明：點D在l₂上；
（3）首先表示出S的值，根據函數值的范圍即可得當點B在x軸上方時，y₁＞0，
S=4y₁，它是關于y₁的正比例函數且S隨y₁的增大而增大，∴S既無最大值也無最小值；
當點B在x軸下方時，-4≤y₁＜0，S_最大=16．
點評：考查一次函數、二次函數的解析式、圖象、性質等知識點，考查綜合應用知識，分析問題解決問題的能力．