Question

【題目】如圖，已知直角坐標系中，A、B、D三點的坐標分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點C與點B關于x軸對稱，連接AB、AC．

（1）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（2）有一動點E從原點O出發，以每秒2個單位的速度向右運動，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點P，交線段CA于點M，連接PA、PB，設點E運動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（8，0），D（﹣1，0），

設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣8），將B（0，4）代入得﹣8a=4，

∴a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣8）=﹣ x2+ x+4；

（2）解：△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，

∴C（0，﹣4）．

由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣ x+4；

依題意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；

∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；

S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；

∴當t=2時，S有最大值，且最大值為64；

（3）解：存在，

∵拋物線的對稱軸為：x= = ，

∴設H（ ，m），

∵A（8，0），B（0，4），

∴AH2=（8﹣ ）2+m2= +m2，AB2=82+42=80，BH2=（ ）2+（4﹣m）2=m2﹣8m+ ①當∠ABH=90°時，AH2=BH2+AB2，即 +m2=m2﹣8m+ +80，

解得：m=11，

∴H（ ，11），

②當∠AHB=90°時，AH2+BH2=AB2， +m2+m2﹣8m+ =80，

解得：m=2± ，

∴H（ ，2+ ），（ ，2﹣ ），

③當∠BAH=90°時，AB2+AH2=HB2，即80+ +m2=m2﹣8m+ ，

解得：m=﹣9，

∴H（ ，﹣9），

綜上所述，H（ ，11）或（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ）或（ ，﹣9）．

【解析】（1）根據A（8，0），D（-1，0），設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-8），將Ba，進而求得拋物線的解析式；
（2）把四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分；△ABC的面積是定值，求出△PBA的面積表達式；再求出S、t的函數關系式后，由函數的性質可求得S的最大值；
（3）拋物線的對稱軸為再，根據兩點間的距離公式分三種情況：①當∠ABH=90°時，②當∠AHB=90°時，③當∠BAH=90°時，根據勾股定理列方程即可得到結論．