Question

（2010•德州）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，AE平分∠BAD交BC于點E，點O是AB上一點，⊙O過A、E兩點，交AD于點G，交AB于點F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）當∠BAC=120°時，則∠EFG=

30

度．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證OE⊥BC即可．因為AD⊥BC，所以轉證OE∥AD．由AE平分∠BAD，OA=OE易得此結論．
（2）∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO．根據已知條件易得∠B=30°，∠EOB=60°．從而求解．

解答：證明：（1）連接OE．                          （1分）
∵AB=AC且D是BC中點，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．                              （2分）
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．
∴OE⊥BC．
∴BC是⊙O的切線．                             （3分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．                              （1分）
∴∠EOB=60°．                                （1分）
∴∠EAO=∠EAG=30°．                          （1分）
∴∠EFG=30°．                                （1分）

點評：此題考查了切線的判定、等腰三角形性質等知識點，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．