Question

在平面直角坐標系中，已知二次函數y=a（x-1）²+k（a＞0）的圖象與x軸相交于點A，B（點A在點B的左邊），頂點為C，點D在這個二次函數圖象的對稱軸上，若四邊形ABCD是一條邊長為4且有一個內角為120°的菱形，求此二次函數的關系式？

Answer 1

分析：此題分為當∠ACB=120°時與當∠DAC=120°時去分析，由四邊形ACBD是菱形，可得AB⊥CD，又由AC=CB=4，即可求得點C與B的坐標，繼而求得此二次函數的關系式．

解答：解：當∠ACB=120°時，
∵四邊形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，
∵AC=CB=4，
得C（1，-2），B（1+2

3

，0），
代入y=a（x-1）²+k中，
∴a=

1

6

，k=-2，
∴y=

1

6

（x-1）²-2．
當∠DAC=120°時，由四邊形ACBD是菱形得，
得C（1，-2

3

），B（3，0），
代入y=a（x-1）²+k中，
∴a=

3

2

，k=-2

3

．
∴y=

3

2

（x-1）²-2

3

．
由圖形的對稱性可知：y=-

1

6

（x-1）²-2或y=-

3

2

（x-1）²-2

3

也符合題意，
∵a＞0，
∴二次函數的關系式為：y=

1

6

（x-1）²-2或y=

3

2

（x-1）²-2

3

．

點評：此題考查了菱形的性質，以及待定系數法求二次函數的解析式的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意方程思想與分類討論思想的應用．