Question

【題目】（知識生成）我們知道，用兩種不同的方法計算同一個幾何圖形的面積，可以得到一些代數恒等式.

例如：如圖可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，請解答下列問題：

⑴ 根據如圖，寫出一個代數恒等式：

；

⑵ 利用⑴中得到的結論，解決下面的問題：若a+b+c=12，，

則 ；

⑶ 小明同學用如圖中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+3b)的長方形，則x＋y＋z= ；

（知識遷移）⑷ 類似地，用兩種不同的方法計算幾何體的體積同樣可以得到一些代數恒等式．如圖表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個邊長為2的小長方體后重新拼成一個新長方體．請你根據如圖中兩個圖形的變化關系，寫出一個代數恒等式．

Answer 1

【答案】⑴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； ⑵ 90； ⑶ 12； ⑷ x3-4x=x(x-2)(x-2)．

【解析】

（1）依據正方形的面積=（a+b+c）2；正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依據a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，進行計算即可；
（3）依據所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而(2a+b)(a+3b)= 2a2+6ab+3b2，即可得到x，y，z的值．
（4）根據原幾何體的體積=新幾何體的體積，列式可得結論．

（1）由圖2得：正方形的面積=（a+b+c）2；正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c=12，ab+ac+bc=27，
∴122=a2+b2+c2+2×27，
∴a2+b2+c2=144-54=90，
故答案為：90；
（3）由題意得：(2a+b)(a+3b)=xa2+yb2+zab，
∴2a2+7ab+3b2=xa2+yb2+zab，

,

∴x+y+z=12，
故答案為：12；
（4）∵原幾何體的體積=x3-2×2x=x3-4x，新幾何體的體積=（x+2）（x-2）x，
∴x3-4x=（x+2）（x-2）x．
故答案為：x3-x=（x+2）（x-2）x．