Question

如圖，已知A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，P是直徑CD的延長線上的一點，且AP=AC.
（1）求證：AP與⊙O相切；
（2）如果AC=3，求PD的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根據切線判定推出即可.
（2）根據∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半徑，在Rt△PAO中根據勾股定理求出即可．
試題解析：（1）如圖，連接OA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°.
∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°，即OA⊥AP.
∵點O在⊙O上，∴AP是⊙O的切線．
（2）如圖，連接AD，
∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°.
∴AD=AC?tan30°=，CD=2AD=2.
∴DO=AO=CD=.
在Rt△PAO中，由勾股定理得：，
∴.
∵PD的值為正數，
∴PD=.