Question

探究與應用：在學習幾何時，我們可以通過分離和構造基本圖形，將幾何“模塊”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）：
（1）請就圖①證明上述“模塊”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求證：△ABC∽△DCE；
（2）請直接利用上述“模塊”的結論解決下面兩個問題：
①如圖②，已知點A（-2，1），點B在直線y=-2x+3上運動，若∠AOB=90°，求此時點B的坐標；
②如圖③，過點A（-2，1）作x軸與y軸的平行線，交直線y=-2x+3于點C、D，求點A關于直線CD的對稱點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據余角的性質就可以求出∠B=∠DCE，再由∠A=∠D=90°，就可以得出結論；
（2）①作AG⊥x軸于點G，BH⊥x軸于點H，可以得出△AGO∽△OHB，可以得出

AG

OH

=

GO

BH

，設點B的坐標為（x，-2x+3），建立方程求出其解就可以得出結論；
②過點E作EN⊥AC的延長線于點N，過點D作DM⊥NE的延長線于點M，設E（x，y），先可以求出C、D的坐標，進而可以求出DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，DE=AD=6，CE=AC=3．再由條件可以求出△DME∽△ENC，利用相似三角形的性質建立方程組求出其解就可以得出結論．

解答：（1）證明：∵∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=90°，
∴∠DCE=∠B．
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DCE；

（2）解：①作AG⊥x軸于點G，BH⊥x軸于點H，
∴△AGO∽△OHB，
∴

AG

OH

=

GO

BH

．
∵A（-2，1），
∴AG=1，GO=2．
∵點B在直線y=-2x+3上，
∴設點B的坐標為（x，-2x+3），
∴OH=x，BH=-2x+3，
∴

1

x

=

2

-2x+3

，
∴x=

3

4

，
∴-2x+3=

3

2

，
∴B（

3

4

，

3

2

）；
②過點E作EN⊥AC的延長線于點N，過點D作DM⊥NE的延長線于點M，
∵A（-2，1），
∴C點的縱坐標為1，D點的橫坐標為-2，
∴1=-2x+3，y=-2×（-2）+3，
∴x=1，y=7，
∴C（1，1），D（-2，7）．
設E（x，y），
∴DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，
由對稱可知：DE=AD=6，CE=AC=3．
∵∠M=∠N=∠DEC=90°，
∴△DME∽△ENC，
∴

DM

EN

=

ME

CN

=

DE

CE

，
∴

x+2 y-1 =2 7-y x-1 =2

，
∴解得：

x= 14 5 y= 17 5

∴E（

14

5

，

17

5

）．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了相似三角形的判定及性質的運用，軸對稱的性質的運用，方程組的運用，解答時靈活運用相似三角形的性質是關鍵．