Question

如圖，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分別是CA，CB邊的三等分點，將△ECF繞點C逆時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，連接AM，BN．

（1）求證：AM=BN；

（2）當MA∥CN時，試求旋轉角α的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分別是CA，CB邊的三等分點，

∴CE=CF，

根據旋轉的性質，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，

在△AMC和△BNC中，

，

∴△AMC≌△BNC，

∴AM=BN；

（2）∵MA∥CN，

∴∠ACN=∠CAM，

∵∠ACN+∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠AMC=90°，

∴cosα===．