Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，E、F分別是AD、CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2．連接BD．
（1）圖中有幾對三角三全等？試選取一對全等的三角形給予證明；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．
（3）當△BEF的面積取得最小值時，試判斷此時EF與BD的位置關系．

Answer 1

分析：（1）根據題意可判斷出AE=DF，DE=CF，從而結合菱形的性質即可得出全等三角形的對數，選擇一對進行證明即可．
（2）根據（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，繼而可判定△BEF為正三角形．
（3）設BE=BF=EF=x，則可表示出△BEF的面積與x的關系，可得出此時EF與BD的位置關系．

解答：解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三對；
證明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD=BC ∠C=∠BDE DE=CF

，
故△BDE≌△BCF．

（2）△BEF為正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；

（3）設BE=BF=EF=x，
則S_△BEF=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
當BE⊥AD時，x_最小=2×sin60°=

3

，此時△BEF的面積最小，
此時點E、F分別位于AD、CD的中點，
故此時BD垂直平分EF．

點評：此題考查了菱形的性質，綜合考查了正三角形的判定，全等三角形的判定與性質，難度較大，解答最后一問關鍵是判斷點E及點F的位置．