Question

（2013•奉賢區一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE的延長線與BC的延長線交于點F．
（1）求證：△FDC∽△FBD；
（2）求證：

DF

BF

=

AC

BC

．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上中線性質求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根據∠F=∠F證△FBD∽△FDC，即可；
（2）由（1）可知FBD∽△FDC，所以

DF

BF

=

DC

BD

，由已知條件可證明△BDC∽△BCA所以

DC

BD

=

AC

BC

即

DF

BF

=

AC

BC

．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中點，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠FDC=∠B，
∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDC；

（2）∵△FBD∽△FDC，
∴

DF

BF

=

DC

BD

，
∵△BDC∽△BCA，
∴

DC

BD

=

AC

BC

，
∴

DF

BF

=

AC

BC

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關鍵是由相似得到比例式．