Question

【題目】結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數軸上表示和的兩點之間的距離是__________；表示和兩點之間的距離是__________；

（2）如果，那么__________；

（3）若，，且數、在數軸上表示的點分別是點、點，則、兩點間的最大距離是_____，最小距離是______；

（4）求代數式的最小值，并寫出此時可取哪些整數值？

（5）求代數式的最小值．

（6）若表示一個有理數，則代數式有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3,5；（2）1或-3；（3）12，2；（4）最小值為2，x的整數值為： -1，0，1；（5）7；（6）4.

【解析】

（1）根據數軸點坐標意義，求出兩個數的差的絕對值即可；
（2）根據絕對值的意義解方程即可；
（3）根據絕對值分別求出a，b的值，再分別討論，即可求出最大值和最小值.
（4）求的最小值，即找一點到坐標為-1和1的點距離和最小.由線段的性質，兩點之間，線段最短，可知當-1≤x≤1時，有最小值，從而可求得最小值，利用數軸即可找到此時x可取的整數值．

（5）可以用數形結合來解題：為數軸上的一點，表示：點到數軸上的3個點-2、3、5的距離之和，進而分析得出最小值．

（6）可化為，當取最小值時，取最大值，結合（4）可知當3≤x≤5時，式子取最大值.

解：（1）∵，，

∴數軸上表示和的兩點之間的距離是3；表示和兩點之間的距離是5；

故答案為：3；5.

（2）∵，

∴，

∴解得x=1或-3，

故答案為：1或-3.

（3）∵|a-3|=4，|b+2|=3，
∴a=7或-1，b=1或b=-5，
當a=7，b=-5時，則A、B兩點間的最大距離是12，
當a=1，b=-1時，則A、B兩點間的最小距離是2，
則A、B兩點間的最大距離是12，最小距離是2；

故答案為12；2.

（4）根據題意可知，|x+1|+|x-1|有最小值即是x到1的距離與到1的距離之和最小,那么x應在1和3之間的線段上．

即當-1≤x≤1時，|x+1|+|x-1|有最小值．
∴|x+1|=x+1，|x-1|=1-x，
∴|x+3|+|x-4|=x+1+1-x=2；
由數軸可知，-1≤x≤1，x的整數值為： -1，0，1．

∴|x+1|+|x-1|的最小值為2，此時可取的整數值為： -1，0，1．

（5）∵表示：點到數軸上的3個點-2、3、5的距離之和，即當x在中間點3時，距離之和最小.

∴當x=3時，代數式有最小值，

最小值==7．

故代數式的最小值是7．

（6）∵=，

∴當取最小值時，取最大值，

∴由題可知，當3≤x≤5時，取最大值，

當3≤x≤5時，

，

=，

=8-2x+6+2x-10

=4，

故當3≤x≤5時，取最大值為4，