Question

如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交DC于F，BD分別交CE、AE于點G、H．
（1）試猜想線段AE和BD之間的關系，并說明理由；
（2）若AC=3，BC=，∠ACB=135°．
①求CG：CE的值；②求AB的長．

Answer 1

解：（1）猜測AE=BD，AE⊥BD；理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，
在△ACE與△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
故線段AE和BD的數量是相等，位置是垂直關系．

（2）①∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，
∴∠DCE=45°，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，AC=3，BC=，
∴∠BEC=45°，CD=AC=3，BE=BC=2，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，
∴△CDG∽△EBG，
∴=，
∴CG：CE=3：5；
②過點B作BK⊥AC，交AC的延長線于點K，
∵∠ACB=135°，
∴∠BCK=45°，
∴CK=BK=BC•sin45°=×=1，
∴AK=AC+CK=3+1=4，
在Rt△ABK中，AB==．
分析：（1）由于條件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因為對頂角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．
（2）①由∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，可求得∠DCE=45°，又由△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，易證得CD∥BE，則可證得△CDG∽△EBG，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得CG：CE的值；
②過點B作BK⊥AC，交AC的延長線于點K，由∠ACB=135°，即可得△BCK是等腰直角三角形，則可求得BK與CK的長，然后由勾股定理求得AB的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．