Question

【題目】正方形ABCD的邊長為2，將射線AB繞點A順時針旋轉α，所得射線與線段BD交于點M，作CE⊥AM于點E，點N與點M關于直線CE對稱，連接CN．

（1）如圖，當0°＜α＜45°時：

①依題意補全圖；

②用等式表示∠NCE與∠BAM之間的數量關系：___________；

（2）當45°＜α＜90°時，探究∠NCE與∠BAM之間的數量關系并加以證明；

（3）當0°＜α＜90°時，若邊AD的中點為F，直接寫出線段EF長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②∠NCE＝2∠BAM；（2）∠NCE+∠BAM＝90°，證明見解析；（3）1+．

【解析】

（1）作CE⊥AM于點E，點N與點M關于直線CE對稱，連接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一點，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由點N與點M關于直線CE對稱，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，進而得出∠NCE＝2∠BAM；

（2）連接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根據∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根據∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到；

（3）依據∠CEA＝90°，即可得到點E在以AC為直徑的圓上，當EF經過圓心O時，即可得出線段EF長的最大值．

（1）①補全的圖形如圖所示：

②∠NCE＝2∠BAM．理由如下：

如圖1，連接MC．

∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM．

∵BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM．

∵∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一點，∴∠BAM＝∠BCE，∴∠MCE＝2∠BAM．

∵點N與點M關于直線CE對稱，∴CN＝CM，∴∠NCE＝∠MCE，∴∠NCE＝2∠BAM．

故答案為：∠NCE＝2∠BAM．

（2）．理由如下：

如圖，連接CM．

∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM＝∠DCM．

∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE，∴∠DAQ＝∠ECQ，∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，∴．

∵∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，∴．

（3）如圖，∵∠CEA＝90°，∴點E在以AC為直徑的圓上，O為圓心，由題可得：OFCD＝1，OE＝OCAC．

∵OE+OF≥EF，∴當EF經過圓心O時，．