Question

【題目】如圖，拋物線l：y= （x﹣h）2﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），將拋物線ι在x軸下方部分沿軸翻折，x軸上方的圖象保持不變，就組成了函數的圖象．

（1）若點A的坐標為（1，0）．
①求拋物線l的表達式，并直接寫出當x為何值時，函數的值y隨x的增大而增大；
②如圖2，若過A點的直線交函數的圖象于另外兩點P，Q，且S△ABQ=2S△ABP ， 求點P的坐標；
（2）當2＜x＜3時，若函數f的值隨x的增大而增大，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①把A（1，0）代入拋物線y= （x﹣h）2﹣2中得：

（x﹣h）2﹣2=0，

解得：h=3或h=﹣1，

∵點A在點B的左側，

∴h＞0，

∴h=3，

∴拋物線l的表達式為：y= （x﹣3）2﹣2，

∴拋物線的對稱軸是：直線x=3，

由對稱性得：B（5，0），

由圖象可知：當1＜x＜3或x＞5時，函數的值y隨x的增大而增大；

②如圖2，作PD⊥x軸于點D，延長PD交拋物線l于點F，作QE⊥x軸于E，則PD∥QE，

由對稱性得：DF=PD，

∵S△ABQ=2S△ABP，

∴ ABQE=2× ABPD，

∴QE=2PD，

∵PD∥QE，

∴△PAD∽△QAE，

∴ ，

∴AE=2AD，

設AD=a，則OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[ （1+a﹣3）2﹣2]），

∵點F、Q在拋物線l上，

∴PD=DF=﹣[ （1+a﹣3）2﹣2]，

QE= （1+2a﹣3）2﹣2，

∴ （1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[ （1+a﹣3）2﹣2]，

解得：a= 或a=0（舍），

∴P（ ， ）

（2）解：當y=0時， （x﹣h）2﹣2=0，

解得：x=h+2或h﹣2，

∵點A在點B的左側，且h＞0，

∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），

如圖3，作拋物線的對稱軸交拋物線于點C，

分兩種情況：

①由圖象可知：圖象f在AC段時，函數f的值隨x的增大而增大，

則 ，

∴3≤h≤4，

②由圖象可知：圖象f點B的右側時，函數f的值隨x的增大而增大，

即：h+2≤2，

h≤0，

綜上所述，當3≤h≤4或h≤0時，函數f的值隨x的增大而增大．

【解析】（1）①利用待定系數法求拋物線的解析式，由對稱性求點B的坐標，根據圖象寫出函數的值y隨x的增大而增大（即呈上升趨勢）的x的取值；②如圖2，作輔助線，構建對稱點F和直角角三角形AQE，根據S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，證明△PAD∽△QAE，則 ，得AE=2AD，設AD=a，根據QE=2FD列方程可求得a的值，并計算P的坐標；（2）先令y=0求拋物線與x軸的兩個交點坐標，根據圖象中呈上升趨勢的部分，有兩部分：分別討論，并列不等式或不等式組可得h的取值．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．