Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點D，AC⊥l于C，AC交⊙O于點E，DF⊥AB于F．
（1）圖中哪條線段與BF相等？試證明你的結論；
（2）若AE=3，CD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）利用弦切角定理以及平行線的性質可以證明AD是∠BAC的角平分線，根據角平分線的性質定理可證得：CD=DF，進而證得△BDF≌△EDC，則BF=CE；
（2）根據AC=AF，BF=CE即可求解．

解答：解：（1）FB=CE．
證明：連接DE，BD．
∵DC是圓的切線．
∴∠EDC=∠DAC  OD⊥直線l
∵AC⊥直線l．
∴OD∥AC
∴∠ADO=∠DAC
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ADO
∴∠OAD=∠DAC
∴DF=DC
∵AB是圓O的直徑．且DF⊥AB
∴∠ABD=∠BAD
∴∠ABD=∠EDC
∴△BDF≌△EDC
∴FB=CE；
（2）∵CD是圓O的切線．
∴CD2=CE•CA，即4=CE（CE+3）
解得：CE=1
則BF=CE=1
∴AB=BF+AF=BF+AC=1+AE+CE=1+3+1=5．

點評：本題是弦切角定理，根據弦切角定理以及平行線的性質定理證明△BDF≌△EDC是解決本題的關鍵．