Question

選做題
已知如圖，△ABC為直角三角形紙片，∠C=90°，AC≤BC，將紙片沿EF折疊，使A點落在BC上D點，若△DCE和△FBD都是等腰三角形，
（1）則∠B=

 

；
（2）若△DFE和△FBD都是等腰三角形，求∠B．

Answer 1

分析：首先確定△BDF不是以DF=BF為腰的等腰三角形，由折疊的性質可得DF=AF，如果DF=FB，那么則可得DF=AF=FB，這是不可能的，如果AF=FB，那么應該滿足CF=AF=FB，而CF≠DF，故這種情況不可能．
（1）由△DEC是等腰三角形可得出∠CED=∠CDE=45°，設∠B=x，①若BD=BF，可得∠BDF=∠BFD=

1

2

（180°-x），繼而可得出∠EDF=∠A的度數，根據∠A+∠B=90°可解出x．②若DF=BD，可得∠EDF=∠A=2x-45°，根據∠A+∠B=90°可解出x．
（2）分情況進行討論，①AE=AF，DF=DB，②AE=AF，BD=BF，③EA=EF，DF=DB，④EA=EF，BD=BF，⑤FE=FA，DF=DB，⑥FE=FA，BD=BF，這幾種情況下，分別表示出∠B及∠EFA，的度數，利用平角AFB等于180°列方程可得出答案．

解答：解：（1）①若BD=BF，
由△DEC是等腰三角形可得出∠CED=∠CDE=45°，
設∠B=x，可得∠BDF=∠BFD=

1

2

（180°-x），
∴∠EDF=45°+

1

2

x=∠A，
又∵∠A+∠B=90°，
∴45°+

1

2

x+x=90°，
解得：x=30°．即此時∠B=30°．
②若DF=BD，
則∴∠EDF=2x-45°=∠A，
∴2x-45°+x=90°，
解得：x=45°．

（2）設∠B=x，
①AE=AF，DF=DB，
則∠DFB=∠B=x，∠A=90°-x，
∴∠AEF=∠AFE=∠EFD=

90°+x

2

，
則x+2×

90°+x

2

=180°，解得x=45°；
②AE=AF，BD=BF，則∠AEF=∠AFE=∠EFD=

90°+x

2

，∠DFB=

180°-x

2

，
則

180°-x

2

+2×

90°+x

2

=180°，解得x=0，不符合題意；
③EA=EF，DF=DB，則∠A=∠EFA=90°-x，∠DFB=∠B=x，
則2（90°-x）+x=180°，解得x=0，不符合題意；
④EA=EF，BD=BF，則∠A=∠EFA=90°-x，∠DFB=

180°-x

2

，
則2（90°-x）+

180°-x

2

=180°，解得x=36°．
⑤FE=FA，DF=DB，則∠EFA=2x，∠DFB=∠B=x，
則5x=180°，解得x=36°；
⑥FE=FA，BD=BF，則∠EFA=2x，∠DFB=

180°-x

2

，
則4x+

180°-x

2

=180°，解得x=

180

7

°．
綜上可得∠B=45°或36°或

180

7

°．

點評：本題考查了翻折變換及等腰三角形的性質，難度較大，難點在于不確定等腰三角形的腰，需要分情況進行討論，尤其是第二問需要分六種情況，注意討論的時候按次序進行，避免漏解．