Question

【題目】（9分）已知如圖（1）：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．

（1）寫出線段EF與BE、CF間的數量關系？（不證明）

（2）若AB≠AC，其他條件不變，如圖（2），圖中線段EF與BE、CF間是否存在（1）中數量關系？請說明理由．

（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如圖（3），這時圖中線段EF與BE，CF間存在什么數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+CF；（2）仍然有EF=BE+CF，理由見解析；（3）EF=BE﹣CF，理由見解析．

【解析】

試題（1）根據角平分線的定義可得∠EBO=∠OBC，已知EF∥BC，根據平行線的性質可得∠EOB=∠OBC，所以∠EOB=∠EBO，再由等腰三角形的判定可得OE=BE．同理可得OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF；（2）仍然存在EF=BE+CF，根據（1）的方法即可證得結論；

（3）EF=BE﹣CF，利用（1）的方法可證得EO=BE，FO=CF，可得到EF=BE﹣CF．

試題解析：解：（1）EF=BE+CF；

（2）仍然有EF=BE+CF．理由如下：

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∴∠EOB=∠EBO，

∴OE=BE，同理OF=FC，

∴EF=EO+OF=BE+CF；

（3）EF=BE﹣CF．理由如下：

∵OE∥BC，

∴∠EOC=∠OCD，

∵CO平分∠ACD，

∴∠FCO=∠OCD，

∴∠FCO=∠FOC，

∴OF=CF，

同理可得到BE=EO，

∴EF=EO﹣FO=BE﹣CF．