Question

大家在學完勾股定理的證明后發現運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．學有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高為h，M是底邊BC上的任意一點，M到腰AB、AC的距離分別為h₁、h₂．
（1）請你結合圖形來證明：h₁+h₂=h；

（2）當點M在BC延長線上時，h₁、h₂、h之間又有什么樣的結論．請你畫出圖形，并直接寫出結論不必證明；
（3）利用以上結論解答，如圖在平面直角坐標系中有兩條直線l₁：y=

3

4

x+3，l₂：y=-3x+3，若l₂上的一點M到l₁的距離是

3

2

．求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC即可求出答案；
（2）h₁-h₂=h；
（3）先求得△ABC為等腰三角形，再根據（1）（2）的結果分（ⅰ）當點M在BC邊上時，（ⅱ）當點M在CB延長線上時，求得M的坐標．

解答：（1）證明：連接AM，由題意得h₁=ME，h₂=MF，h=BD，
∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，
S_△ABM=

1

2

×AB×ME=

1

2

×AB×h₁，
S_△AMC=

1

2

×AC×MF=

1

2

×AC×h₂，
又∵S_△ABC=

1

2

×AC×BD=

1

2

×AC×h，AB=AC，
∴

1

2

×AC×h=

1

2

×AB×h₁+

1

2

×AC×h₂，
∴h₁+h₂=h．

（2）解：如圖所示：（5分）
h₁-h₂=h．（7分）

（3）解：在y=

3

4

x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB=

OA2+OB2

=5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC為等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）當點M在BC邊上時，由h₁+h₂=h得：

3

2

+M_y=OB，M_y=3-

3

2

=

3

2

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=

1

2

，
所以此時M（

1

2

，

3

2

）．（10分）
（ⅱ）當點M在CB延長線上時，由h₁-h₂=h得：M_y-

3

2

=OB，M_y=3+

3

2

=

9

2

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-

1

2

，
所以此時M（-

1

2

，

9

2

）．（11分）．
綜合（�。�、（ⅱ）知：點M的坐標為M（

1

2

，

3

2

）或（-

1

2

，

9

2

）．（12分）

點評：（1）（2）的結果容易得到，解答（3）時，注意要靈活應用（1）（2）的結果．