Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點(diǎn)，將△ADM沿直線AM對(duì)折，得到△ANM．

（1）當(dāng)AN平分∠MAB時(shí)，求DM的長(zhǎng)；

（2）連接BN，當(dāng)DM=1時(shí)，求△ABN的面積；

（3）當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）DM=；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）由折疊可知：△ANM≌△ADM，∠MAN=∠DAM，由AN平分∠MAB，得到∠MAN=∠NAB，進(jìn)一步有∠DAM=∠MAN=∠NAB．由四邊形ABCD是矩形，得到∠DAM=30°，由DM=ADtan∠DAM得到DM的長(zhǎng)；

（2）如圖1，延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵由四邊形ABCD是矩形，得到∠DMA=∠MAQ．由折疊可知：△ANM≌△ADM，∠DMA=∠AMQ，得到∠MAQ=∠AMQ，故MQ=AQ．

設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x．在Rt△ANQ中，由，得到x=4．

故NQ=4，AQ=5，由==ANNQ，即可得到結(jié)論；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，則△ABH∽△BFC，故.由AH≤AN=3，AB=4，故當(dāng)點(diǎn)N、H重合（即AH=AN）時(shí)，DF最大．此時(shí)M、F重合，B、N、M三點(diǎn)共線，△ABH≌△BFC（如圖3），而CF=BH==，故課求出DF的最大值．

試題解析：（1）由折疊可知：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=ADtan∠DAM==；

（2）如圖1，延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ．由折疊可知：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ．

設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x．在Rt△ANQ中， ，∴，解得：x=4．

∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴==ANNQ=；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，則△ABH∽△BFC，∴.∵AH≤AN=3，AB=4，∴當(dāng)點(diǎn)N、H重合（即AH=AN）時(shí)，DF最大．（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）

此時(shí)M、F重合，B、N、M三點(diǎn)共線，△ABH≌△BFC（如圖3），∴CF=BH===，∴DF的最大值為：．