Question

【題目】如圖，直線y＝2x+2與y軸交于A點，與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO＝2．

（1）求H點的坐標及k的值；

（2）點P在y軸上，使△AMP是以AM為腰的等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標；

（3）點N（a，1）是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的點，點Q（m，0）是x軸上的動點，當△MNQ的面積為3時，請求出所有滿足條件的m的值．

Answer 1

【答案】（1）k＝4；（2）點P的坐標為（0，6）或（0，2+），或（0，2﹣）；（3）m＝7或3．

【解析】

（1）先求出OA=2，結合tan∠AHO=2可得OH的長，即可得知點M的橫坐標，代入直線解析式可得點M坐標，代入反比例解析式可得k的值；
（2）分AM=AP和AM=PM兩種情況分別求解可得；
（3）先求出點N（4，1），延長MN交x軸于點C，待定系數法求出直線MN解析式為y=-x+5．據此求得OC=5，再由S△MNQ=S△MQC-S△NQC=3知QC=2，再進一步求解可得．

（1）由y＝2x+2可知A（0，2），即OA＝2，

∵tan∠AHO＝2，

∴OH＝1，

∴H（1，0），

∵MH⊥x軸，

∴點M的橫坐標為1，

∵點M在直線y＝2x+2上，

∴點M的縱坐標為4，即M（1，4），

∵點M在y＝上，

∴k＝1×4＝4；

（2）①當AM＝AP時，

∵A（0，2），M（1，4），

∴AM＝，

則AP＝AM＝，

∴此時點P的坐標為（0，2﹣）或（0，2+）；

②若AM＝PM時，

設P（0，y），

則PM＝ ，

∴＝，

解得y＝2（舍）或y＝6，

此時點P的坐標為（0，6），

綜上所述，點P的坐標為（0，6）或（0，2+），或（0，2﹣）；

（3）∵點N（a，1）在反比例函數y＝（x＞0）圖象上，

∴a＝4，

∴點N（4，1），

延長MN交x軸于點C，

設直線MN的解析式為y＝mx+n，

則有

解得，

∴直線MN的解析式為y＝﹣x+5．

∵點C是直線y＝﹣x+5與x軸的交點，

∴點C的坐標為（5，0），OC＝5，

∵S△MNQ＝3，

∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝×QC×4﹣×QC×1＝QC＝3，

∴QC＝2，

∵C（5，0），Q（m，0），

∴|m﹣5|＝2，

∴m＝7或3，

故答案為：7或3．