Question

（2010•常德）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（-4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于C點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設E是線段AB上的動點，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當△CEF的面積是△BEF面積的2倍時，求E點的坐標；
（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；
（2）根據拋物線的解析式可得出C點的坐標，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據相似三角形的性質，即可求得BE、AB的比例關系，由此可求出E點坐標；
（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點橫坐標為m，用m表示出P、Q的縱坐標，然后可得出PQ的長與m的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PQ最大時，m的值，也就能求出此時P點的坐標．
解答：解：（1）由題意，得：，
解得；
∴y=x²+x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
則AC²=AO²+OC²=20，BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴；
∵AB=5，
∴BE=；
OE=BE-OB=，故E（，0）；

（3）設P點坐標為（m，m²+m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
設直線AC的解析式為：
y=kx-2，
則有：-4k-2=0，k=-；
∴直線AC的解析式為y=-x-2；
∴Q點坐標為（m，-m-2）；
則PQ=-m-2-（m²+m-2）=-m²-2m；
∴當m=-2，即P（-2，-3）時，PQ最大，且最大值為2．
故當P運動到OA垂直平分線上時，PQ的值最大，此時P（-2，-3）．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、直角三角形的判定和性質、三角形面積的求法、相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識，綜合性強，難度較大．