Question

【題目】如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點、在菱形的對角線上.

（1）求證：；

（2）若為中點，，求菱形的周長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【解析】

（1）根據矩形的性質得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據菱形的性質得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）連接EG，根據菱形的性質得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE是平行四邊形，得到AB=EG，于是得到結論．

（1）∵四邊形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG=DE；

（2）連接EG，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵E為AD中點，

∴AE=ED，

∵BG=DE，

∴AE=BG，AE∥BG，

∴四邊形ABGE是平行四邊形，

∴AB=EG，

∵EG=FH=2，

∴AB=2，

∴菱形ABCD的周長=8．