Question

如圖，在中，，，，分別是邊的中點，點從點出發沿方向運動，過點作于，過點作交于，當點與點重合時，點停止運動．設，．

（1）求點到的距離的長；

（2）求關于的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1），，，．

點為中點，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即關于的函數關系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①當時，過點作于，則．

，，

．

，，

，．

②當時，，

．

③當時，則為中垂線上的點，

于是點為的中點，

．

，

，．

綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．

【解析】（1）找出三角形相似的條件（兩組角對應相等），根據相似三角形對應邊成比例求出的長；

（2）利用相似三角形對應邊成比例得到關于的函數關系式；

（3）需分情況討論哪條邊是底還是腰，①利用同角的余角相等及等角的余弦值相等，得到的方程即可；②則；③根據到線段的兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上得為中垂線上的點，知點為的中點，根據得到的方程即可。