Question

如圖，正比例函數y₁=k₁x的圖象與反比例函數的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（1，2）．
（1）分別求出這兩個函數的表達式；
（2）請你觀察圖象，寫出y₁＞y₂時，x的取值范圍；
（3）在y軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線方程為y₁=k₁x，反比例函數y=

k2

x

，兩圖象都經過點A，解得k₁和k₂，
（2）解得兩交點的坐標，觀察圖象寫出x的取值范圍，
（3）存在4種情況的點P，OP為腰和底兩種情況，分別求出OP．

解答：（1）解：∵y₁=k₁x過點A（1，2），
∴k₁=2．（2分）
∴正比例函數的表達式為y₁=2x．（3分）
∵反比例函數過點A（1，2），
∴k₂=2．（5分）
∴反比例函數的表達式為y=

2

x

．（6分）

（2）-1＜x＜0或x＞1．（8分）

（3）∵點A的坐標為（1，2），
∴OA=

5

，
當OA為腰時，OA=OP₂=

5

，P₂點坐標為（0，4），
當AP₁=OA=

5

，可知P₁坐標為（0，

5

），
當OA=OP₃=

5

時，可得P₃坐標為（0，-

5

）
由圖可知，P₁（0，

5

），P₂（0，-

5

），P₃（0，-4），
當OA為底時，OP₄=

1 2 OA

cosAOP4

=

5

4

，
可知P₄（0，

5

4

），
故P₁（0，

5

），P₂（0，-

5

），P₃（0，-4），P₄（0，

5

4

）．（12分）

點評：本題主要考查了待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式和反比例函數y=

k

x

中k的幾何意義．這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．