Question

【題目】（基礎鞏固）

（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝ADAB．

（嘗試應用）

（2）如圖2，在ABCD中，E為BC上一點，F為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．

（拓展提高）

（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F是△ABC內一點，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝；（3）5﹣2

【解析】

（1）根據題意證明△ADC∽△ACB，即可得到結論；

（2）根據現有條件推出△BFE∽△BCF，再根據相似三角形的性質推斷，即可得到答案；

（3）如圖，分別延長EF，DC相交于點G，先證明四邊形AEGC為平行四邊形，再證△EDF∽△EGD，可得，根據EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根據，可推出DG＝DF=5，即可求出答案．

解：（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ADAB；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，∠A＝∠C，

又∵∠BFE＝∠A，

∴∠BFE＝∠C，

又∵∠FBE＝∠CBF，

∴△BFE∽△BCF，

∴，

∴BF2＝BEBC，

∴BC＝＝=，

∴AD＝；

（3）如圖，分別延長EF，DC相交于點G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，

∵AC∥EF，

∴四邊形AEGC為平行四邊形，

∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，

∵∠EDF＝∠BAD，

∴∠EDF＝∠BAC，

∴∠EDF＝∠G，

又∵∠DEF＝∠GED，

∴△EDF∽△EGD，

∴，

∴DE2＝EFEG，

又∵EG＝AC＝2EF，

∴DE2＝2EF2，

∴DE＝EF，

又∵，

∴DG＝DF=5，

∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．