Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，過D點作DE⊥BC于E，過B點作BF⊥AB交DE于F，連接CF．
（1）若DE平分∠ADC，DF=2，AD=3

2

，求四邊形ABFD的面積；
（2）若DF=BF，求證：∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．

Answer 1

分析：（1）過F點作FM⊥AD于M，得出矩形ABFM，推出BF=AM，求出FM、DM的長，求出AM長，根據梯形的面積公式求出即可；
（2）延長BF交CD于N，得出矩形ABND，根據AAS證△BFE≌△DFN，推出EF=FN，根據HL證△CFE和△CFN全等，推出∠ECD=2∠BCF，根據三角形的內角和定理求出即可．

解答：（1）解：過F點作FM⊥AD于M，
∴四邊形ABFM為矩形，
∴BF=AM，
∵DE平分∠ADC，
∴∠MDF=

1

2

∠ADC=45°，
在Rt△DMF中，FM=DF•sin∠MDF=

2

，
∴DM=MF=

2

∴AM=AD-MD=2

2

，
∴BF=AM=2

2

，
∴S四邊形ABFD=

1

2

(BF+AD)•MF=

1

2

(2

2

+3

2

)•

2

=5，
答：四邊形ABFD的面積是5．

（2）證明：延長BF交CD于N，
∴四邊形ABND為矩形，
∴∠FND=∠FEB=90°，
在△BFE和△DFN中

∠BEF=∠FND ∠BFE=∠DFN BF=DF

，
∴△BFE≌△DFN，
∴FE=FN，
在Rt△CFE和Rt△CFN中

CF=CF EF=FN

，
∴Rt△CFE≌Rt△CFN（HL），
∴∠ECF=∠NCF=

1

2

∠ECN，
∴∠BCN=2∠BCF，
∵∠BCN+∠EBF=90°，
∴2∠BCF+∠FDC=90°，
∴∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．

點評：本題考查了矩形的性質和判定，勾股定理，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，直角梯形，等腰直角三角形等知識點的應用，通過做此題培養了學生綜合運用定理進行推理的能力和計算能力，本題綜合性比較強，有一定的難度，但題型較好．