Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且B（1，0），C（0，3），將△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°，C點恰好與A重合．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）若點P為線段AB上的任一動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連結CP，求△PCE面積S的最大值；
（3）設拋物線的頂點為M，Q為它的圖象上的任一動點，若△OMQ為以OM為底的等腰三角形，求Q點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（1，0），C（0，3），

∴OB=1，OC=3．

∵△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°，C點恰好與A重合．

∴OA=OC=3，

∴A（﹣3，0），

∵點A，B，C在拋物線上，

∴ ，

∴ ，

∴二次函數的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：設點P（x，0），則PB=1﹣x，

∵A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵C（0，3），

∴OC=3，

∴S△ABC= AB×OC=6，

∵PE∥AC，

∴△BPE∽△BAC，

∴ ，

∴S△PBE= （1﹣x）2，

∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE= PB×OC﹣ （1﹣x）2= （1﹣x）×3﹣ （1﹣x）2=﹣ （x+1）2+ ，

當x=﹣1時，S△PCE的最大值為

（3）

解：∵二次函數的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點坐標（﹣1，4），

∵△OMQ為等腰三角形，OM為底，

∴MQ=OQ，

∴ = ，

∴8x2+18x=7=0，

∴x= ，

∴y= 或y= ，

∴Q（ ， ），或（ ， ）．

【解析】（1）先求出點A坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先求出S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=﹣ （x﹣1）2+ ，即可求出最大面積；（3）先求出拋物線頂點坐標，由等腰三角形的兩腰相等建立方程求出點Q坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．