Question

如圖所示，拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3）．以AB為直徑作⊙M，過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，并與⊙M的切線AE相交于點E，連接DM并延長交⊙M于點N，連接AN、AD．
（1）求拋物線所對應的函數關系式及拋物線的頂點坐標；
（2）若四邊形EAMD的面積為4

3

，求直線PD的函數關系式；
（3）拋物線上是否存在點P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）因為拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，
設拋物線的函數關系式為：y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，拋物線的函數關系式為：y=x²-2x-3，（2分）
又∵y=（x-1）²-4，
因此，拋物線的頂點坐標為（1，-4）；（3分）

（2）連接EM，∵EA、ED是⊙M的兩條切線，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四邊形EAMD的面積為4

3

，
∴S_△EAM=2

3

，
∴

1

2

AM•AE=2

3

，
又∵AM=2，
∴AE=2

3

，
因此，點E的坐標為E₁（-1，2

3

）或E₂（-1，-2

3

），（5分）
當E點在第二象限時，切點D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA=

EA

AM

=

2 3

2

=

3

，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
過切點D作DF⊥AB，垂足為點F，
∴MF=1，DF=

3

，
因此，切點D的坐標為（2，

3

），（6分）
設直線PD的函數關系式為y=kx+b，
將E（-1，2

3

），D（2，

3

）的坐標代入得

3 =2k+b 2 3 =-k+b

，
解之，得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直線PD的函數關系式為y=-

3

3

x+

5 3

3

，（7分）
當E點在第三象限時，切點D在第四象限，
同理可求：切點D坐標為（2，-

3

），
直線PD的函數關系式為y=

3

3

x-

5 3

3

，
因此，直線PD的函數關系式為y=-

3

3

x+

5 3

3

或y=

3

3

x-

5 3

3

；（8分）

（3）若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，
又∵S_{四邊形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，
∴S_△AMD=S_△EAM，
∴E、D兩點到x軸的距離相等，
∵PD與⊙M相切，
∴點D與點E在x軸同側，
∴切線PD與x軸平行，
此時切線PD的函數關系式為y=2或y=-2，（9分）
當y=2時，由y=x²-2x-3得，x=1±

6

；
當y=-2時，由y=x²-2x-3得，x=1±

2

，（11分）
故滿足條件的點P的位置有4個，分別是P₁（1+

6

，2）、P₂（1-

6

，2）、P₃（1+

2

，-2）、P₄（1-

2

，-2）．（12分）
說明：本參考答案給出了一種解題方法，其它正確方法應參考本標準給出相應分數．