Question

【題目】如圖，函數y=－x2＋x＋c(－2020≤x≤1)的圖象記為L1，最大值為M1；函數y=－x2＋2cx＋1(1≤x≤2020)的圖象記為L2，最大值為M2．L1的右端點為A，L2的左端點為B，L1，L2合起來的圖形記為L．

（1）當c=1時，求M1，M2的值；

（2）若把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，當點A，B重合時，求L上“美點”的個數；

（3）若M1，M2的差為，直接寫出c的值．

Answer 1

【答案】（1）當c=1時，M1=，M2=2；（2）3030；（3）c=－或2．

【解析】

(1)當c=1時，把函數的解析式化成頂點式即可求得，的值；
(2)由已知可得點A，B重合時，，，L1上有1011個“美點”，L2上有2020個“美點”．則L上“美點”的個數是1011+2020-1=3030；
(3)當時，，由于L2的對稱軸為，分兩種情況求解：當c≥1時，=c2+1；當c＜1時，=2c；再由已知列出等式即可求c的值．

(1)當c=1時，

函數y=-x2+x+c=-x2+x+1=-(x-)2+，

又-2020≤x≤1，

∴M1=，

y=-x2+2cx+1=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，

又1≤x≤2020，

∴M2=2．

(2)當x=1時，y=-x2+x+c=c-；y=-x2+2cx+1=2c．

若點A，B重合，則c-=2c，c=-，

∴L1∶y=-x2+x- (-2020≤x≤1)；

L2∶y=-x2-x+1(1≤x≤2020)．

在L1上，x為奇數的點是“美點”，則L1上有1011個“美點”；

在L2上，x為整數的點是“美點”，則L2上有2020個“美點”．

又點A，B重合，

則L上“美點”的個數是1011+2020-1=3030；

(3)y=-x2+x+c(-2020≤x≤1)上時，當時，，

y=-x2+2cx+1(1≤x≤2020)，對稱軸為，

當時，，

∴，

∴(舍去)或；
當時，，

∴，

∴(舍去)或；
綜上，或．