Question

【題目】定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點． 請解決下列問題：

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的長；
（2）如圖2，若點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點．

Answer 1

【答案】
（1）解∵點M，N是線段AB的勾股分割點，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，

∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，

∴BN=

（2）證明∵點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，

∴FM、MN、NG分別是△ABD、△ADE、△AEC的中位線，

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，

∵點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD，

∴EC2=DE2+DB2，

∴4NG2=4MN2+4FM2，

∴NG2=MN2+FM2，

∴點M，N是線段FG的勾股分割點

【解析】（1）由M、N為線段AB的勾股分割點，利用題中的新定義列出關系式，將MN與AM的長代入求出BN的長即可；（2）由F、M、N、G分別為各邊中點，得到FM、MN、NG分別為中位線，利用中位線定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用題中新定義列出關系式，即可得證．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和三角形中位線定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能得出正確答案．