Question

已知方程x²-3x+a+4=0有兩個整數根．
（1）求證：這兩個整數根一個是奇數根，一個是偶數根；
（2）求證：a是負數；
（3）當方程的兩個整數根同號時，求a的值及這兩個根．

Answer 1

分析：（1）根據兩根之和為奇數即可證明．
（2）根據△≥0即可證明．
（3）根據根與系數的關系求出兩個根的值，然后求出a即可．

解答：解：（1）∵方程x²-3x+a+4=0有兩個整數根，設這兩個整數根為：x₁，x₂，
根據根與系數的關系：x₁+x₂=3為奇數，
∵x₁，x₂都是整數，
∴根據兩個整數的和為奇數可知：這兩個整數根一個是奇數根，一個是偶數根；

（2）△=9-4（a+4）=9-16-4a≥0，
解得：a≤-

7

4

，
故a是負數即為所證；

（3）當方程的兩個整數根同號時，
∵x₁+x₂=3為奇數，
∴x₁=1，x₂=2，
∴x₁x₂=a+4=2，
解得：a=-2，
∴方程兩個根為：x₁=1，x₂=2，a的值為-2．

點評：本題考查了根與系數的關系，難度較大，關鍵是正確運用x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過來可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．