Question

拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點D，頂點為C
（1）求A、B、C、D各點坐標；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積是△ABC的面積的2倍？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在拋物線的解析式中，當x=0時，可求出點D的坐標；當y=0時，能求出A、B點的坐標；將拋物線的解析式寫成頂點式，可以得到頂點C的坐標．
（2）四邊形ADCB的形狀不規則，可以過C作x軸的垂線，將四邊形分成兩個直角三角形和一個梯形，根據圖形間面積的和差關系求解即可．
（3）由（1）知，拋物線的頂點縱坐標為4，若△PAB的面積是2倍的△ABC的面積，那么點P到x軸的距離必為8（兩個三角形共用一個底），顯然點P不可能在x軸的上方，所以點P的縱坐標一定是-8，代入拋物線的解析式中求解即可．
解答：解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4，
∴A（-1，0）、B（3，0）、C（1，4）、D（0，3）．

（2）過C作CE⊥x軸，垂足為E；
由（1）知：OA=1、OD=3、CE=4、OE=1、BE=2；
S_{四邊形ABCD}=S_△AOD+S_△BCE+S_梯形ODCE
=×1×3+×2×4+×（3+4）×1=9．

（3）由于CE=4，即點C到x軸的距離為4；
若S_△PAB=2S_△ABC，則點P到x軸的距離為8，
設P（x，-8），依題意，有：
-x²+2x+3=-8，
化簡得：x²-2x-11=0
解得：x=1±2；
即：P（1±2，-8）．
點評：此題主要考查了拋物線與坐標軸交點坐標的求法以及圖形面積的求法，總體來說難度不大，注意兩點即可：圖形不規則時，其面積可通過圖形間面積和差關系來解；同底不等高的三角形，面積比等于高的比．