Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD為直徑作⊙O₁交AD于點Ｅ，過點Ｅ作ＥF⊥AB于點F．建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A、B兩點坐標分別為A（2，0）、B（0，）．

1.求C、D兩點的坐標；

2.求證：ＥF為⊙O₁的切線

3.線段CD上是否存在點P，使以點P為圓心，PD為半徑的⊙P與y軸相切．如果存在，請求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.連結CE

  ∵CD是⊙O₁的直徑     ∴CE⊥x軸

∴在等腰梯形ABCD中，EO=BC=2，

CE=BO=，DE=AO=2∴DO=4， 

故C（）D（） （3分）

2.連結O₁E，在⊙O₁中，O₁D= O₁E，∠O₁DE=∠1，

又在等腰梯形ABCD中 ∠CDA=∠BAD

∴∠1=∠BAD       ∴O₁E∥BA

又∵EF⊥BA       ∴O₁E⊥EF

∵E在⊙O₁上   ∴EF為⊙O₁的切線．   （6分）

3.存在滿足條件的點P.

   作PH⊥OD于H,作PM⊥y軸于M.

   則當PM=PD時,⊙P于y軸相切.

在矩形PHOM中,OH=PM

設OH=m, 則PM=PD=m, DH=4-m

∵tan∠OAB=

∴∠OAB=60°

∴∠PDH=∠OAB=60°

在Rt△PDH中,cos∠PDH=,即: , m=,

 則PH=DH·tan∠PDH=(4-m)

∴ 滿足條件的P點坐標為() （12分）

解析:（1）連CE，根據圓周角定理的推論得到CE⊥DE，再根據等腰梯形的性質得DE=OA=2，則OD=2+2=4，即可寫出C點坐標和D點坐標；

（2）AB=4，易得∠DCE=30°，則∠CDE=∠A=60°，得到△O₁DE為等邊三角形，則∠O₁ED=60°，而EF⊥AB，有∠FEA=30°，于是∠O₁EF=90°，根據切線的判定即可得到結論；

（3）設⊙與y軸相切于F，連PF，過C作CE⊥x軸與E，交PF于H，⊙P的半徑為R，根據切線的性質得PF⊥y軸，則PD=PF=R，所以有PH=R-2，PC=4-R，DE=2，易證得Rt△CPH∽Rt△GDF，理由相似比可求出R和CH，可得到HE，即可寫出P點坐標．