Question

某商廈試銷一種成本為50元/件的商品，規定試銷時的銷售單價不低于成本，又不高于80元/件，試銷中銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）的關系可近似的看作一次函數（如圖）．
（1）求y與x的關系式；
（2）設商廈獲得的毛利潤（毛利潤=銷售額-成本）為s（元），則銷售單價定為多少時，該商廈獲利最大，最大利潤是多少？此時的銷售量是多少件？

Answer 1

分析：根據兩點的值可求出一次函數的解析式，再利用：毛利潤=銷售額-成本，得到關于x的二次函數，利用二次函數的性質，可求出最大利潤，以及相關內容．

解答：解：（1）設y=kx+b；
將（60，40），（70，30）代入得：

60k+b=40 70k+b=30

，
解得：

k=-1 b=100

；
∴y=-x+100；

（2）S=（-x+100）（x-50）
=-x²+150x-5000；
∵a=-1，b=150，c=-5000，
∴當x=-

b

2a

=75時，
S_最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×(-5000)-1502

4•(-1)

=

20000-22500

-4

=625
當x=75時，y=-75+100=25；
所以，當銷售價是75元時，最大利潤是625元，此時銷量為25件．

點評：利用待定系數法求函數的解析式，還用到二次函數的有關內容（求最值的問題）．