Question

如圖．已知一次函數(shù)y=x-2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，以線段AB為邊作正方形ABCD如圖所示．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P（-1，m）是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，且△PAB的面積等于正方形面積的

1

2

，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)P、B、D三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意將一次函數(shù)y=x-2的x、y分別等于0，即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)D作DE⊥x軸交x軸與E點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)便可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后將P、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，即可求得二次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=x-2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2，當(dāng)x=0時(shí)，y=-2；
故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0），B（0，-2），
AB=

OA2+OB2

=2

2

；

（2）過(guò)D作DE⊥x軸交x軸于E點(diǎn)，
正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2

2

，
AD=AB，故D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B點(diǎn)一樣應(yīng)為-2，
AE=OA=2，∴OE=OA+AE=4，故D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為D（4，-2）；

（3）S_□ABCD=2

2

×2

2

=8，S_△PAB=

1

2

S_□ABCD=4，
故AB邊上的高應(yīng)為2

2

，
①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，AB交x=-1于點(diǎn)M，
∵直線AB為：y=x-2，
∴∠PMA=45°，
∵PH=2

2

，
∴PM=

2

PH=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P（-1，1），
設(shè)經(jīng)過(guò)P、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
將P、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得

1=a-b+c -2=c -2=16a+4b+c

，
解得

a= 3 5 b=- 12 5 c=-2

，
故二次函數(shù)的解析式為y=

3

5

x²-

12

5

x-2．
②如圖2，過(guò)點(diǎn)P′作P′H′⊥AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H′．
同理求得P′（-1，-7）．則過(guò)P、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-2．
綜上所述，符合條件的拋物線的解析式是：y=

3

5

x²-

12

5

x-2或y=-x²+4x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，題中涉及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，解答要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，是各地中考的熱點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．