Question

如圖，直線y=k₁x+b（k₁≠0）與雙曲線y=（k₂≠0）相交于A（1，2）、B（m，-1）兩點．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）為雙曲線上的三點，且x₁＜0＜x₂＜x₃，請直接寫出y₁，y₂，y₃的大小關系式；
（3）觀察圖象，請直接寫出不等式k₁x+b＜的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A坐標代入反比例解析式中求出k₂的值，確定出雙曲線解析式，將B坐標代入反比例解析式求出m的值，確定出B坐標，將A與B坐標代入一次函數解析式中求出k₁與b的值，即可確定出直線解析式；
（2）根據三點橫坐標的正負，得到A₂與A₃位于第一象限，對應函數值大于0，A₁位于第三象限，函數值小于0，且在第一象限為減函數，即可得到大小關系式；
（3）由兩函數交點坐標，利用圖象即可得出所求不等式的解集．
解答：解：（1）將A（1，2）代入雙曲線解析式得：k₂=2，即雙曲線解析式為y=；
將B（m，-1）代入雙曲線解析式得：-1=，即m=-2，B（-2，-1），
將A與B坐標代入直線解析式得：，
解得：k₁=1，b=1，
則直線解析式為y=x+1；

（2）∵x₁＜0＜x₂＜x₃，且反比例函數在第一象限為減函數，
∴A₂與A₃位于第一象限，即y₂＞y₃＞0，A₁位于第三象限，即y₁＜0，
則y₂＞y₃＞y₁；

（3）由A（1，2），B（-2，-1），
利用函數圖象得：不等式k₁x+b＜的解集為-2＜x＜0或x＞1．
點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，利用了數形結合的思想，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．